TITULO: Los conjuntos
GRADO: Segundo
ÁREA: Matemáticas
TIEMPO: Dos horas
HERRAMIENTAS DEL DOCENTE: Libros, carteleras, marcadores, hojas en blanco,
PREGUNTA GENERADORA: ¿sabias que los elementos existentes en el universo se pueden agrupar?
LOGRO PARA EL ESTUDIANTE: Conocer y definir un conjunto por extencion y comprension de acuerdo a sus elementos
PALABRAS CLAVES:
CONJUNTO: es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc.
SUBCONJUNTOS:un conjunto A es subconjunto de un conjunto B si A "está contenido" dentro de B. Recíprocamente, se dice que el conjunto B es unsuperconjunto de A cuando A es un subconjunto de B.
MATEMATICAS:es una ciencia formal que partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos (numers, figras geometricas,simbolos ). Las matemáticas se emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geometricas y las manitudes variables.
CONJUNTOS FINITOS: Los conjuntos finitos tienen una propiedad "intuitiva" que los caracteriza: "dada una parte propia de los mismos, ésta contiene un número de elementos menor que todo el conjunto". Es decir, no puede establecerse una biyección entre una parte propia del conjunto finito y todo el conjunto.
ELEMENTOS: En teoria de conjuntos, un elemento o miembro de un conjunto (o familias de conjuntos) es un obgeto que forma parte de ese conjunto (o familia).
REFERENTE TEÓRICO:
CONJUNTOS
Historia:
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.
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Definición:
Georg cantor uno de los fundadores de la teoría de conjuntos dio la siguiente definición de conjuntos:
Entendido en general por variedad o conjunto toda multiplicación que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras etc.
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arco iris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
CLASES DE CONJUNTOS
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son irregulares. La colección de estos últimos de los polígonos regulares en la imagen es otro conjunto en particular, un subconjunto del primero.
El concepto de conjunto como objeto abstracto no comenzó a emplearse en matemáticas hasta el siglo XIX, a medida que se despejaban las dudas sobre la noción de infinito.
Las contribuciones de Richard Dedekind al álgebra estaban formuladas en términos claramente conjuntistas, que aún prevalecen en la matemática moderna: relaciones de equivalencia, particiones, homomorfismos, etc., y él mismo explicitó las hipótesis y operaciones relativas a conjuntos que necesitó en su trabajo.
La teoría de conjuntos como disciplina independiente se atribuye usualmente a Georg Cantor. Comenzando con sus investigaciones sobre conjuntos numéricos, desarrolló un estudio sobre los conjuntos infinitos y sus propiedades. La influencia de Dedekind y Cantor empezó a ser determinante a finales del siglo XIX, en el proceso de «axiomatización» de la matemática, en el que todos los objetos matemáticos, como los números, las funciones y las diversas estructuras, fueron construidos en base a los conjuntos.
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Definición:
Georg cantor uno de los fundadores de la teoría de conjuntos dio la siguiente definición de conjuntos:
Entendido en general por variedad o conjunto toda multiplicación que puede ser pensada como unidad, esto es, toda colección de elementos determinados que pueden ser unidos en una totalidad mediante una ley.
Los elementos o miembros de un conjunto pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras etc.
En matemáticas, un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Los objetos de la colección pueden ser cualquier cosa: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Cada uno de los objetos en la colección es un elemento o miembro del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los colores del arco iris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si consideramos la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más. En particular el orden en el que se representen estos es irrelevante. Además, cada elemento puede aparecer de manera idéntica una sola vez, esto es, no puede haber elementos totalmente idénticos repetidos. Por ejemplo:
S = {Lunes, Martes, Miércoles, Jueves, Viernes} = {Martes, Viernes, Jueves, Lunes, Miércoles}
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta} = {Amarillo, Naranja, Rojo, Verde, Violeta, Añil, Azul}
CLASES DE CONJUNTOS
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los número naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas en el Sistema Solar es finito (tiene ocho elementos). Además, con los conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera similar a las operaciones con números.
Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y conduce a la teoría de conjuntos.
Los diversos polígonos en la imagen constituyen un conjunto. Algunos de los elementos del conjunto, además de ser polígonos son irregulares. La colección de estos últimos de los polígonos regulares en la imagen es otro conjunto en particular, un subconjunto del primero.
CONJUNTO DE PERSONAS: El conjunto de personas como se muestra en la imagen:
A= tiene 8 miembros, este conjunto puede representarse mediante llaves o mediante un diagrama venn.
Existen dos maneras de describir o especificar los elementos de un conjunto:
Una de ellas es mediante una definición intensiva o por comprensión, describiendo una condición que cumplen sus elementos.
La segunda manera es por extensión, esto es, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves:
C = {4, 2, 3, 1}
D = {blanco, rojo, verde}
Puesto que un conjunto queda especificado únicamente por sus elementos, a menudo pueden usarse ambas definiciones, intensivas y extensivas, para especificar un mismo conjunto. Por ejemplo
El conjunto de las vocales en español = {e, u, a, i, o}
En los ejemplos anteriores, se tiene que A = C y B = D
Debido a la propiedad de la extensionalidad, el orden en el que se especifiquen los elementos de un conjunto es irrelevante (a diferencia de una tupla o una sucesión). Por ejemplo:
C′ = {1, 2, 4, 3} es igual a C = {4, 2, 3, 1}
D′ = {verde, blanco, rojo} es igual a D = {blanco, rojo, verde}
Esto es así debido a que lo único que define un conjunto son sus elementos. Por ejemplo, cada elemento de D es un elemento de D′ y viceversa, luego ambos son necesariamente el mismo conjunto.
Del mismo modo, y a diferencia de un conjunto, cada elemento de un conjunto es único: no puede repetirse o pertenecer «más de una vez. Esto significa que, por ejemplo: {4, 3, 2, 4} = {4, 2, 3} ,
Ya que los elementos de ambos conjuntos son los mismos: el 4, el 3 y el 2. No sería el caso si los números que consideramos tuvieran alguna otra propiedad que los diferenciase:
4, 3, 2, 4} es distinto de {4, 2, 3} y de {4, 2, 3}
Es habitual utilizar las llaves también en las definiciones intensivas, especificando la propiedad que define al conjunto:
{Vocales del español} = {o, u, i, e, a}
{Palos de la baraja francesa} = {♠, ♣, ♥, ♦}
Otra notación habitual para denotar por comprensión es:
A = {m m es un entero, y 1 ≤ m ≤ 5}
B = {c c es un color de la bandera de México}
F = {n2 n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10}
Subconjuntos:
F = {n2 n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10}
Subconjuntos:
El subconjunto B es un subconjunto de A
Un conjunto B es una parte o un subconjunto del conjunto A, si todo elemento de B es de A.
Esta definición es equivalente a: «si todo elemento de un conjunto B pertenece también a otro conjunto A se dice que B esta contenido en A, o bien que B esta incluido en A.
subconjuntos propios e impropios:
En algunos textos de redacción antigua diferencian entre los subconjuntos: los subconjuntos, los subconjuntos propios y los impropios, esta notación no es aconsejable al ser obsoleta, dado que las estructuras algebraicas de orden y en álgebra de conjuntos, parten de la propiedad reflexiva, por eso un conjunto cualesquiera se considera un subconjunto de si mismo en todos los casos, y por ello se define:
Dados los conjuntos A y B se dice que B es un subconjunto propio de A, si todo elemento de B pertenece a A, siendo A y B conjuntos distintos.Por Extensión y por Comprensión
Un conjunto queda perfectamente definido si se conocen con exactitud los elementos que lo integran o que pertenecen a él; es decir, si se nombran todos sus elementos o bien si se usa un enunciado o propiedad que lo identifique. Independientemente de la forma en que se lo represente, siempre se usa una letra mayúscula que lo define. Esta letra mayúscula representa a un conjunto específico de elementos.
Existen dos maneras de definir un conjunto dado:
a) Por extensión o enumeración: se define nombrando a cada elemento del conjunto.
b) Por comprensión: se define mediante un enunciado o atributo que representa al conjunto (se busca una frase que represente a la totalidad de elementos sin nombrar a ninguno en particular).
| Por comprensión | Por extensión |
| A = {Números dígitos} | A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} |
| B = {Números pares] | B = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, ...} |
| C = {Múltiplos de 5} | C = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35...} |
MATERIALES: Cuadernos, lápiz, borrador, hoja de apuntes,
METODOLOGIA:
- Iniciación: Se realizara una oración en nombre de Dios para comenzar la jornada académica bajo la protección de los santos, la oración será guiada por docente orientador que este a cargo.
- Desarrollo de la actividad: El docente debe ver y controlar que todos los estudiantes estén en perfecto orden para poder iniciar.
El docente dará a conocer cual será la temática a tratar en esta clase, es decir,”los conjuntos”. Se vera el video “Historia de los conjuntos (youtube)” los estudiantes tomaran la hoja de apuntes que debe repartir el docente, en esta hoja los estudiantes aran un resumen de la historia de los conjuntos con base en el video que están observando mientras el docente revisa que todos estén trabajando. Al terminar el video el docente recogerá las hojas y evaluara con algún signo que identifique su calificación (al momento de evaluar a los estudiantes este resumen será parte importante de la valoración)
En seguida de el video el docente desarrollara la clase explicando el concepto, elementos, definiciones, relaciones de los conjuntos, este trabajo debe estar previamente preparado por el docente (parte de la información se encuentra en el referente teórico, por si falta algo están presentes los links para seguirlos). El tema deberá estar expuesto en carteleras para que el docente las explique y los estudiantes puedan tomar nota del tema en su cuaderno,
A medida que el docente be desarrollando la temática ira haciendo pausas para realizar preguntas acerca del tema a sus estudiantes, y de paso ir evaluando que el tema este quedando claro y que todos estén prestando atención a la clase. Para este desarrollo el docente debe exponer el tema con ejemplos claros por ejemplo: en conjuntos pueden haber un conjunto de niñas y un conjunto de hombres.
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Cierre: Al finalizar la explicación del tema se procederá a evaluar que la temática halla sido entendida para esto el docente realizara grupos de dos estudiantes y como máximo tres para desarrollar el siguiente taller:
<!--[if !supportLists]-->1- <!--[endif]-->Del conjunto de las 10 cifras deducir dos subconjuntos importantes
<!--[if !supportLists]-->2- <!--[endif]-->Definir por extensión las monedas de cuso legal y papel moneda que hay actualmente en Colombia. Hallar la intersección de los dos conjuntos monedas y papel.
<!--[if !supportLists]-->3- <!--[endif]-->Expresar por extensión el conjunto de las cifras impares y deducir los subconjuntos de los elementos.
<!--[if !supportLists]-->4- <!--[endif]-->Justificar por que no podemos asignar al conjunto vació el valor cero.
<!--[if !supportLists]-->5- <!--[endif]-->¿Por qué el conjunto de los números naturales tienen un número infinito de elementos?
<!--[if !supportLists]-->6- <!--[endif]-->Con el conjunto N: (Juan, pedro, Luis, Maria, ana, Belén) forma todos los subconjuntos posibles de dos elementos cada uno, de manera que estén constituidos por pareja de ambos sexos.
<!--[if !supportLists]-->7- <!--[endif]-->Halla la representación mediante diagramas de Venn la unión e intersección de los conjuntos A: (1,2,3,4,5) B: (6,7,4,0,3,1)
<!--[if !supportLists]-->8- <!--[endif]-->Aplica la propiedad transitiva de la inclusión a los conjuntos: semanas, meses y años.
COMPETENCIAS: (De acuerdo a los resultados del taller)
Competencia interpretativa:
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]--> Diferencia la definición por extensión y por comprensión de los conjuntos
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Diferencia las relaciones de pertenencia e inclusión de los conjuntos
<!--[if !supportLists]-->· <!--[endif]-->Diferencia por medio de graficas la unión y la intersección de conjuntos
Competencia argumentativa:
- Representa conjuntos por extensión y por comprensión
- Representa las relaciones de pertenencia e inclusión de los conjuntos en ejercicios propuestos
- Representa por medio de graficas la unión y la intersección de conjuntos en ejercicios propuestos
CRITERIOS DE EVALUACIÓN:
- 1.0: No desarrolla ninguna de las competencias propuestas
- 1.0 - 2.0: Desarrolla al menos dos competencias propuestas
- 2.0 -3.0: Desarrolla cinco competencias propuestas
- 3.0 – 4.0: Desarrolla todas las competencias propuestas
- 4.0 – 5.0: Desarrolla todas las competencias propuestas y presento el resumen del video “historia de los conjuntos”
NOTA: El docente evaluara con base en los anteriores criterios por decir un estudiante desarrolla cinco competencias, el docente evaluara con base de 3.0 – 4.0, es decir, la nota puede ser 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9, esta evaluación será de acuerdo al criterio del docente.
BIBLIOGRAFIA Y CIBERGRAFIA:
- Consultor del estudiante Pág.: 86
- Matemática fácil Pág. 50
- http://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?ID=136164
